Thèse Cong Bang HUING

Cette thèse se situe à l'interface entre combinatoire et probabilités, et contribue  à l'étude  de différents modèles  issus de  la mécanique statistique  : polymères,  marches aléatoires  inter-agissantes ou  en milieu aléatoire, cartes aléatoires.

Le premier  modèle que  nous étudions  est une  famille de  mesures de probabilités sur les chemins auto-évitants  de longueur infinie sur un réseau régulier,  construites à partir de  marches aléatoires biaisées sur l'arbre des chemins  auto-évitants finis. Ces mesures, introduites par Beretti et Sokal, existent pour tout biais strictement supérieur à l'inverse de la constante de connectivité,  et leur limite en ce biais critique  serait  l'une  des   définitions  naturelles  de  la  marche aléatoire  uniforme en  longueur infinie.  Le  but de  ce travail,  en
collaboration avec  Vincent Beffara, est  de comprendre le  lien entre cette limite, si elle existe, et d'autres chemins aléatoires notamment la  mesure  de  Kesten  (qui  est   la  limite  faible  de  la  marche auto-évitante  uniforme  dans  le  demi-plan)  et  les  interfaces  de percolation  de Bernoulli  critique;  d'une certaine  façon le  modèle constitue une interpolation entre les deux.

Dans une deuxième  partie, nous considérons des  marches aléatoires en conductances aléatoires sur un arbre quelconque, dans le cas où la loi des conductances est  à queue lourde. L’objectif de  notre travail, en collaboration avec Andrea Collevecchio et Daniel Kious, est de montrer une  transition de  phase par  rapport au  paramètre de  la queue;  on exprime le paramètre critique comme  une fonction explicite de l'arbre sous-jacent.
Parallèlement,  nous  étudions  des   modèles  de  marches  aléatoires excitées sur des arbres et leurs transitions de phase. En particulier, nous étendons une  conjecture de Volkov et  généralisons des résultats de Basdevant et Singh.
Enfin, une troisième  partie en collaboration avec  Vincent Beffara et Benjamin Lévêque porte  sur les cartes aléatoires  en genre supérieur: nous   montrons  l'existence   de  limites   d'échelle,  le   long  de sous-suites, pour  les triangulations  simples uniformes sur  le tore, étendant à  ce cas les  résultats d'Addario-Berry et Albenque  (sur les triangulations  simples  de  la  sphère) et  de  Bettinelli  (sur  les quadrangulations du tore). La question de l'unicité de la limite et de son universalité  restent ouvertes,  mais nous obtenons  des résultats
partiels dans ce sens.