Auteur : Olivier DURAND DE GEVIGNEY
Directeur de thèse : Zoltan SZIGETI
Date : 18 octobre 2013
Directeur de thèse : Zoltan SZIGETI
Date : 18 octobre 2013
Orientation des graphes : Structures et algorithmes
Orienter un graphe c'est remplacer chaque arête par un arc de mêmes extrémités. On s'intéresse à la connexité du graphe orienté ainsi obtenu. L'orientation avec des contraintes d'arc-connexité est comprise en profondeur mais très peu de résultats sont connus en terme de sommet-connexité. La conjecture de Thomassen avance que les graphes suffisamment sommet-connexes ont une orientation k-sommet-connexe. De plus, la conjecture de Frank propose une caractérisation des graphes qui admettent une telle orientation.
Les résultats de cette thèse s'articulent autour des notions d'orientation, de packing, de connexité et de matroïde. D'abord, nous infirmons une conjecture de Recski sur la décomposition d'un graphe en arbres ayant des orientations avec degrés entrants prescrits. Nous prouvons également un nouveau résultat sur le packing d'arborescences enracinées avec contraintes de matroïdes. Ceci généralise un résultat fondamental d'Edmonds. Enfin, nous démontrons un nouveau théorème de packing sur les bases des matrïdes de dénombrement qui nous permet d'améliorer le seul résultat connu sur la conjecture de Thomassen.
D'autre part, nous donnons une construction et un théorème d'augmentation pour une famille de graphes lièe à la conjecture de Frank. En conclusion, nous réfutons la conjecture de Frank et prouvons que, pour tout entier K>= 3, décider si un graphe a une orientation k-sommet-connexe est un problème NP-complet.