Thèse Ugo GIOCANTI

Propriétés structurelles et géométriques des graphes fortement symétriques

Résumé

De nombreux énoncés mathématiques (dits ''structurels'') prennent la forment suivante: si un objet combinatoire X satisfait une propriété (P), alors X doit ressembler à (...)'', où (...) consiste souvent en une description structurelle précise. On pensera notamment au Théorème de Structure de Robertson-Seymour en théorie des graphes, qui décrit explicitement la structure des graphes qui excluent un mineur fixé, ou encore au Théorème de planarité de Maschke, qui dresse la liste exhaustive des graphes de Cayley finis planaires. Cette thèse présente divers énoncés structurels similaires, obtenus en ajoutant l'hypothèse que l'objet étudié X possède de nombreuses symétries.Le premier chapitre s'intéresse à l'étude des graphes localement finis ''quasi-transitifs'', c'est à dire des graphes admettant seulement un nombre fini de types de sommets différents, à application d'un automorphisme près. Cette classe de graphes s'avère être non seulement intéressante puisque généralise la classe extrêmement riche des ''graphes de Cayley'', mais également car la propriété de quasi-transitivité nous autorise à relâcher les contraintes souvent présentes dans des preuves à cause des structures algébriques, permettant ainsi des raisonnements plus libres et plus généraux que ceux imposés par des conditions plus fortes. En particulier, nous verrons que les ''décompositions arborescentes canoniques'' s'avèrent être un outil particulièrement pertinent dans l'étude de la structure des graphes quasi-transitifs. Le second chapitre est dédié à l'étude de certains classes spécifiques de groupes finiment générés. Nous y introduirons plusieurs concepts provenant du domaine de la dynamique symbolique des groupes, et tenterons d'établir de nombreuses connections avec les notions et résultats introduits dans le premier chapitre.